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「平分」不夠還要加上「一定要分完」?當抽象的數學遇上求實的文字

圖片來源:Pixabay/作者:geralt

一本道出數學教育的危機,並讓讀者重新體會數學與生活關係的趣味之書。

數學教學想利用情境佈題,經常是自找麻煩!

過去有幾年,我曾擔任國中小數學教科書審定委員會的主任委員。這個委員會的工作是審查數學教科書內容是否符合課程綱要、是否正確和表達方式是否恰當。審查過程裡,有一些令人難忘的經驗。

有一次審查有關除法的課程,課本出現一個例題:

  • 六顆橘子分給兩位小朋友,每位小朋友得到幾顆?

委員甲:這個例題沒有說清楚怎麼分,我建議把「分」改成「平分」。

委員乙:贊成。不過應該要說得更清楚,請在「平分給兩位小朋友」後加上一句「一定要分完」,才沒有爭議。

委員丙:我贊成兩位委員,但我認為更恰當的敘述是:六顆「一模一樣」的橘子「平」分給兩位小朋友,「一定要分完」,每位小朋友得到幾顆?

經過一番討論之後,我的裁決是只把「分」改成「平分」,其他免議,理由是「畫蛇添足」。

圖片來源:Pixabay/作者:pixel2013

另外一次審查有關容量的課程,課本的例題是:

  • 養樂多的瓶子容量是100毫升,現在將瓶子裝滿水後倒進水桶,請問要倒幾次才能倒滿一公升?

委員丁:我有意見,我特別到超商檢查養樂多的瓶子,發現養樂多並沒有裝滿。我買了一瓶回家,喝完後把瓶子裝滿水,再倒到量筒,發現瓶子的容量是 105 毫升。

我的裁決是:建議把「養樂多的瓶子」改成「有一個瓶子」,但並不強制出版商遵循,因為此題中「養樂多」只是一個方便的情境,所謂借力使力,不必那麼當真。

新加坡四種不同口味的養樂多。
圖片來源:維基百科

後來在審國中課本時,碰到一個例題:

  • 街道一邊的門牌號碼第一戶是6號,第十戶是幾號?

委員甲:這個題目有問題,因為在第一戶到第十戶中間可能有巷子,所以第十戶的號碼不一定是 24 號。

委員乙:不但如此,並且戶號還可能有之幾的,例如:6 號之後的這一戶是 8 號之 1,然後是 8 號之 2 等。

我的裁決是:謝謝大家,我們將意見轉給出版者,不過我想他們可能會改成:公差為 2 的等差數列,首項是 6,第十項是多少?

圖片來源:黃宗玄攝

換句話說,利用情境佈題經常是自找麻煩。

同樣在等差數列的課程,碰到下面這個考古題:

  • 用四根火柴棒可排成一個正方形。要在正方形右邊用火柴棒繼續排出正方形(如下圖),請問要用多少根火柴才能排出十個正方形?
圖片來源:三民書局提供

委員丙:這個問題最有問題的地方,是四根火柴棒其實不可能排成一個正方形,因為火柴棒有個小頭。大家仔細看,四個小頭突在那裡,怎麼可能會是正方形呢?

委員丁:如果這樣,我建議用牙籤,不要用火柴棒。

委員戊:牙籤中間胖兩頭尖,排了也不會像正方形。

主任委員:不然要怎樣才能弄出一個真正的正方形呢?

委員戊:我可以用圓規和直尺來畫出直角,然後……

主任委員:我請教你,你在畫正方形時,你畫的邊有沒有粗細?請注意,直線是不能有寬度的,請問你要用什麼筆來畫出四條沒有寬度的直線?

委員丙、丁、戊:……

圖片來源:Pixabay/作者:PublicDomainPictures

主任委員:柏拉圖認為「數學是不完美的現實的完美呈現」,火柴棒是現實,但是它所拼成的正方形卻是一個完美的概念。其實這個例題沒有問題,如果照各位的意見,任何幾何的圖形都不可能正確。

數學的抽象性,代表的正是如何從不完美的圖形中抽離出本質。

第一階段的審書業務告一段落後,我因個人因素辭去審書工作。當年柏拉圖是不是那樣說的,我不確定,但現場的委員並沒有提出異議,他們應該都聽懂了我的意思。

柏拉圖(左)手指向天,象徵他認為品德來自於智慧的「形式」世界。而亞里斯多德則手指向地,象徵他認為知識是透過經驗觀察所獲得的概念。
圖片來源:維基百科 / 作者:拉斐爾·聖齊奧

本文摘自《當火車撞上蘋果──走近愛因斯坦和牛頓》一書。

當火車撞上蘋果:走近愛因斯坦和牛頓

  • 作者:張海潮
  • 出版社:三民書局
  • 出版日期:2020/01/17

 

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